こんにちは。
以下の設定で、ASA からクライアントへ、DNS サーバのアドレスを指示することができそうですが、どうでしょうか?
hostname(config)# group-policy group_policy_name attributes
hostname(config-group-policy)# dns value [ none | IP_primary [ IP_secondary ]]
上記設定済み、もしくは設定しても解決不可の場合、(水曜日以降でよければ)実機検証してみますので、気軽に言ってください。